/UploadFiles/txhzx/2016/9/201609182348173476.doc发表于《教学月刊》全国中文核心期刊2011.8

导数中三个容易混淆的概念

江苏省南通市天星湖中学226009   王东

导数进入高中数学教材后, 这一新的工具为分析和解决问题提供了新的视角新的方法, 与传统的方法相比, 简捷明快, 具有明显的优势, 它既是研究函数性态的有力工具，又是对学生进行理性思维训练的良好素材，已成为高考命题的必考点。然而，在历次高考中，导数题型得分率普遍不高，关键在于对相关概念的理解和应用上没有到位。

 

概念一:“点P处的切线”不等价于“过点P的切线”

“点P处的切线”中的点P一定在曲线上,也一定是切点;而“过点P的切线”中的点P可以在曲线上,也可以不在曲线上.当点p在曲线上时, 点p可以是切点,也可以不是切点; 当点p不在曲线上时, 点p不可能是切点.

例1: （2009全国卷Ⅱ）曲线 在点 处的切线方程为              

       A.     B.     C.     D.

解： ,

故切线方程为 ,即     故选B.

评注:此题是己知切点,求曲线的切线方程.方法是: 若点P 是曲线y= 的切点,则切线的斜率k= ,切线方程为y= +

例2: （2009江西卷）若存在过点 的直线与曲线 和 都相切，则 等于                                       (    )          

A． 或          B． 或          C． 或           D． 或

解:   设过 的直线与 相切于点 ，所以切线方程为

 

即 ，又 在切线上，则 或 ，

当 时，由 与 相切可得 ，

当 时，由 与 相切可得 ，所以选 .

评注: 此题的己知点不是切点,也曲线的切线方程.方法是: 若点P 不是曲线y= 的切点,则设曲线y= 上的切点为 得出切线方程为

y= + ,然后把点P 坐标代入解出 、 即可.

概念二: “ >0”不等价于“ 递增”

教科书上指出:“对于函数y= ,如果在某区间上 >0,那么 为该区间上的增函数; 如果在某区间上 <0,那么 为该区间上的减函数”这个结论仅是判定函数单调性的充分不必要条件.也就是说, >0 为增函数, 但反之不一定成立; <0 为减函数, 但反之不一定成立.

例3: (2009年广东卷)函数 的单调递增区间是         (    )

A.      B.(0,3)   C.(1,4)     D.      

解: ,令 ,解得 ,故选D

评注: 此题是已知函数求单调递增区间,只要用教科书上的结论即可.

例4: （2008年 湖北卷）若 上是减函数，则 的取值范围是                     （    ）

A.        B.      C.       D.

解：由 = + ≤0,得b≤ 在 上恒成立.

而此时 ＜-1   所以b≤-1  检验:当b=-1时, 符合题意. 故选C

评注: 此题是已知函数的单调递减区间,求参数 的取值范围.求导后一定要用 ≤0,然后检验参数取等号时,是否符合题意,否则要出差错.

例5: 已知函数f(x) = 在(－2，＋∞)内单调递减，求实数a的取值范围是_________

解：f′(x)= ，由f (x)在(－2，＋∞)内单调递减，知f′(x)≤0在x∈(－2，＋∞)内恒立，即 ≤0在x∈(－2，＋∞)内恒立。因此，a≤ 。

检验:当a= 时, = 不是单调递减函数，不合题意。

所求实数a的取值范围是a<

评注:此题若不检验, 实际上却忽视了一个重要问题：未验证f′(x)是否恒为零。因为f (x)在区间D上单调递增（或递减）的充要条件f′(x)≥0 (f′(x))≤0且f′(x)在任一子区间上不恒为零。

概念三: “ =0”不等价于“ 是 的极值”

“ =0”与“ 是 的极值”是既不充分也不必要条件.

例6:求函数 在 的极值

解:由已知 =0,得 .但 在 的两侧 的符号都为正,所以函数 在 无极值

评注:此题是 =0,但 不是 的极值.所以“ =0”与“ 是 的极值”是不充分条件.

例7: 函数 的极大值是_____,极小值是_____

解: = =0，得x=

列表为

 

x	( , )		( ,0)	0	(0, )
	+		-		+
		极大值		极小值0

所以, 函数 的极大值是__ ___,极小值是__0___

评注: 此题在x=0时有极小值,但 .这样“ =0”与“ 是 的极值”是必要条件不成立.